Verborgen wiskunde
Schijnberekeningen in het graan

De bekende graancirkelonderzoeker Eltjo Haselhoff ontdekte een graancirkel waarin meetkundige figuren verstopt zitten. Maar wie het zelf narekent, komt tot andere conclusies.

Ik val op mooie figuren, want ik houd van meetkunde. Toen ik dan ook op Geheimzinnige Graancirkels van Eltjo Haselhoff stuitte, met `wetenschappelijk onderzoek' in de ondertitel, was ik volkomen verkocht. In het boek staan schitterende foto's van complexe figuren in het graan, opzienbarende ontdekkingen en bovenal een hoop meetkunde. Maar omdat ik vind dat wiskunde iets is dat gedáán moet worden en niet op gezag geloofd, ging ik zelf aan de slag met de beschikbare gegevens. Moeilijk was dat eigenlijk niet, teleurstellend wel.

Ter zake, laten we eens kijken naar het graan in de buurt van Melick in Zuid-Limburg. De graancirkel die daar in 1997 werd gevonden, is er natuurlijk niet meer, maar Haselhoffs metingen eraan gelukkig nog wel. Er zijn in totaal zeven (hier zwart getekende) cirkels in de figuur te zien, onderdeel van een uitgebreider patroon. Van binnen naar buiten geven we ze de namen A tot en met G (zie fig. 1). De grootste cirkel is bijna 17 meter in doorsnede.

Een bij graancirkelonderzoekers veel gevolgd procédé is het zoeken van regelmatige veelhoeken en sterfiguren die tussen de cirkels passen. Zo vond Haselhoff dat er tussen cirkel A en cirkel B een driehoek met gelijke zijden paste. Cirkel B moet dan wel precies twee keer zo groot zijn als cirkel A – veel lezers zullen dat zelf nog wel kunnen beredeneren. (1)

Haselhoff ging verder: hij ontdekte een vierkant tussen cirkel C en D, en nog een vijfhoek tussen E en F. Het sterpentagram in die vijfhoek sluit bovendien om cirkel B (zie fig. 2). Twee jaar later vond hij nog meer verborgen verbanden tussen de cirkels. Weer een pentagram en bovendien een davidsster (fig. 3). Wonderlijk allemaal.

Heel dun

Over de `verborgen geometrie' in het pictogram van Melick merkt Haselhoff op: `Alle drie de ringen waren dus precies bepaald door alleen maar de doorsnede van de cirkel in het midden, met behulp van elementaire meetkundige figuren.'

Inderdaad, vanuit de A-cirkel kun je elk van de andere cirkels bereiken via een of meer tussenstappen van tussenliggende regelmatige figuren. Je kunt er ook de grootte van berekenen ten opzichte van die van A.

Haselhoff heeft een meetkundig model voor de cirkels van Melick aangegeven. Wat hij naliet, ga ik nu wél doen: het meetkundige model uitvoeren volgens de gegeven meetkundige verbanden tussen de cirkels. Ik begin dus met een cirkel en leg daar de driehoek omheen. Zo vind ik waar cirkel B ligt, volgens de `verborgen geometrie'. Aan de hand van de gevonden verbanden ga ik verder en vind alle andere cirkels ook. Resultaat is weer een figuur van zeven cirkels (zie fig. 4).

Ik ben zo lui geweest bij de constructie een computerprogramma te gebruiken (Cabri Géomètre II, dat tegenwoordig wordt meegeleverd bij veel schoolboeken). Dit heeft als voordeel dat het programma ook in 16 decimalen nauwkeurig de stralen van de cirkels doorrekent. Het programma werkt op grond van de gegeven meetkundige relaties, niet op grond van metingen op een papieren tekening.

Het verschil met Haselhoffs op metingen gebaseerde figuur is nogal groot. De tweede ring is hier heel dun in vergelijking met de andere. Haselhoff heeft dat `in het veld' niet opgemerkt. Hij schijft wel: `merk op dat de kleinste ring inderdaad dikker is dan de andere'. In de geconstrueerde/berekende figuur is dat niet zo, daar is de grootste de dikste. Over de dunne tweede ring – volgens het model smaller dan de helft van de derde – geen woord.

Exit verborgen geometrie in het pictogram van Melick!

Tweede manier

Wie mijn computerwerkstuk niet vertrouwt, kan het ook anders aanpakken, nog veel basaler. Haselhoff berekent namelijk zélf al perfect wat volgens het meetkundig model de verhouding is tussen bijvoorbeeld straal C en straal D, die in figuur 2 overeenkomen met de zijde en de diagonaal van een vierkant. Voor de andere figuren zijn soortgelijke berekeningen gemaakt, die in de appendix staan. Volgens Haselhoff én mijn berekeningen aan het meetkundig model blijkt het volgende:

A / B = 0,5000

B / F = 0,3090

A / C = 0,3090

E / F = 0,8090

C / D = 0,7071

D / G = 0,5774

Houden we ons aan A = 100 cm, dan blijkt na enig rekenen volgens het geometrisch model van Haselhoff, dat de tweede ring, tussen D en E, 66 cm dik is. Dit is opvallend dunner dan de 100 cm die Haselhoff in het veld heeft gemeten.

Het is natuurlijk een blunder van de eerste orde om zo'n geconstrueerd meetkundig model niet te toetsen aan de gevonden groottes van de stralen én de ringdiktes. Einde contra-expertise op grond van Haselhoffs eigen metingen.

(Voor wie het zelf wil uitvoeren volgen hier de data van Haselhoff. De stralen van cirkel A tot en met G, allen met een onnauwkeurigheid van 10 cm, zijn: 100, 210, 330, 470, 570, 720, en 830 cm.)

Hoe kan dat nou zo mis gaan? Wel, Haselhoff meet de stralen van de cirkels en merkt op dat er voor bepaalde paren van cirkels regelmatige figuren tussen passen, binnen zekere marges. Ik laat het over aan de lezers die voldoende kennis hebben van rekenen met benaderde waarden, om zelf uit te zoeken hoe het stapelen van fouten en het werken met het verschil E-D zulke afwijkingen tussen meting en model oplevert.

Intelligent ontwerp?

Haselhoff concludeert dat de graancirkelmaker (hij, zij of het, daar worden geen mededelingen over gedaan) is uitgegaan van een zorgvuldig ontwerp. Stel dat de zeven stralen willekeurig gekozen worden in het gebied 0-840 cm. Dan is de kans dat ze alle zeven minder dan 10 cm afwijken van het gevonden ontwerp, buitengewoon klein. Volgens Haselhoff bedraagt `de kans dat dit toeval was... één op zesenveertig miljoen'.

Dit is natuurlijk onzin. Bij elke keus van de zeven stralen valt namelijk wel achteraf een heel stel verschillende `verborgen geometrieën' te bedenken die de zeven posities zeer dicht benaderen. Elke keus is dan even bijzonder, of even intelligent. Het achteraf bedenken van zo'n meetkundige constructie toont ook niet aan dat die constructie van tevoren zo is ontworpen.

Misschien is dit een troost: nu het eerste ontwerp blijkt te falen, kan altijd nog een nieuw ontwerp gezocht worden om de intelligentie van de maker aan te tonen...

Ik wil een milde schoolmeester zijn: iedereen mag een foutje maken; geen probleem, zelfs niet als in overbekende vallen wordt getrapt. Wat ik ernstiger vind, is dat Haselhoff de lezer imponeert met zinnen als: `Om die diktes [van de ringen] van tevoren uit te rekenen, moet je een stelsel vergelijkingen met meerdere variabelen oplossen en dat is een wiskundig probleem dat niet veel mensen de baas kunnen.'

Zulke stelsels en variabelen waren echter helemaal niet nodig. Vermoedelijk wil Haselhoff alleen zeggen: beste lezer, kijk niet al te kritisch, slik wat de meester zegt, want het gaat je vast boven de pet. Ik vind dit een verwerpelijke opvatting over wat wiskunde is. Wiskunde moet niet door (vermeende) ingewikkeldheid proberen te imponeren, maar juist controleerbare helderheid bieden. Maar vooruit, misschien is niet iedereen dat met me eens. Als ik dan toch `de meester' moet geloven, kies ik liever een meester die ter zake kundig is.

Noot
1. Algemeen, als een regelmatige ster of veelhoek met n punten die m maal rondgaat zijn punten op een cirkel heeft, dan is de straal van de ingeschreven cirkel cos ( m/n × 180°) maal de straal van de grote. Voor een driehoek is m = 1 en n =3, en is de verkleiningsfactor dus cos (60°) = 0,5; voor een pentagram is m = 2 en n = 5, en de verkleiningsfactor is cos (72°) = 0,3090. Voor een gegeven verhouding van cirkelstralen kan men eenvoudig de gewenste m/n bepalen en dan een slag doen naar m en n. (noot toegevoegd voor de website).

----------------
Aad Goddijn is medewerker van het Freudenthal Instituut voor onderzoek en ontwikkeling van het wiskundeonderwijs.